ঘন ও ঘনমূল (Cube and Cube Root): সূত্র, শর্টকাট ও 10টি গুরুত্বপূর্ণ MCQ
WBPSC Clerkship, Miscellaneous, WB Police, Panchayat, ICDS এবং অন্যান্য সরকারি চাকরির পরীক্ষার Numerical Ability অংশের জন্য ঘন ও ঘনমূলের গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, সূত্র, উদাহরণ ও পরীক্ষামুখী প্রশ্ন এক জায়গায় শিখুন।
ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করুন
Daily Updates পেতে WhatsApp-এ যোগ দিন
1. ঘন (Cube) ও ঘনমূল (Cube Root) কী?
ঘন বা Cube
কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়েই পরপর 3 বার গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তাকে সংখ্যাটির ঘন বলে। কোনো সংখ্যা \(a\) হলে তার ঘন লেখা হয় \(a^3\)।
a³ = a × a × a
উদাহরণ: 4³ = 4 × 4 × 4 = 64। তাই 4-এর ঘন হলো 64। একইভাবে 5³ = 125 এবং 10³ = 1000।
ঘনমূল বা Cube Root
যে সংখ্যাকে 3 বার গুণ করলে নির্দিষ্ট সংখ্যাটি পাওয়া যায়, সেটি ওই সংখ্যার ঘনমূল। ঘনমূলের প্রতীক হলো ∛।
∛a = b হলে b³ = a
যেমন, 3³ = 27, তাই ∛27 = 3। আবার ∛125 = 5, কারণ 5³ = 125।
ঘন নির্ণয়
6³ = 6 × 6 × 6 = 216
অর্থাৎ 6-এর ঘন 216।
ঘনমূল নির্ণয়
∛216 = 6
কারণ 6 × 6 × 6 = 216।
2. 1 থেকে 20 পর্যন্ত ঘনসংখ্যার তালিকা
সরকারি চাকরির পরীক্ষায় দ্রুত হিসাব করার জন্য 1 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যার ঘন মুখস্থ রাখলে সুবিধা হয়।
| সংখ্যা (n) | ঘন (n³) | সংখ্যা (n) | ঘন (n³) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 1331 |
| 2 | 8 | 12 | 1728 |
| 3 | 27 | 13 | 2197 |
| 4 | 64 | 14 | 2744 |
| 5 | 125 | 15 | 3375 |
| 6 | 216 | 16 | 4096 |
| 7 | 343 | 17 | 4913 |
| 8 | 512 | 18 | 5832 |
| 9 | 729 | 19 | 6859 |
| 10 | 1000 | 20 | 8000 |
3. পূর্ণঘন সংখ্যার গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
বৈশিষ্ট্য 1: জোড় ও বিজোড় সংখ্যা
জোড় সংখ্যার ঘন জোড় হয় এবং বিজোড় সংখ্যার ঘন বিজোড় হয়।
উদাহরণ: 4³ = 64 (জোড়), 3³ = 27 (বিজোড়)।
বৈশিষ্ট্য 2: এককের অঙ্ক
কোনো সংখ্যার ঘনের এককের অঙ্ক নির্ভর করে মূল সংখ্যার এককের অঙ্কের ওপর। যেমন, 12³-এর এককের অঙ্ক 8, কারণ 2³ = 8।
বৈশিষ্ট্য 3: মৌলিক উৎপাদকের নিয়ম
কোনো পূর্ণসংখ্যা পূর্ণঘন হলে তার মৌলিক উৎপাদকে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত 3-এর গুণিতক হবে। অর্থাৎ একই মৌলিক গুণনীয়ককে 3টির দলে সাজানো যাবে।
উদাহরণ: 216 = 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³। তাই 216 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা।
বৈশিষ্ট্য 4: ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনমূল
ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনমূল বাস্তব সংখ্যার মধ্যেই নির্ণয় করা যায়। যেমন, (−3)³ = −27, তাই ∛(−27) = −3।
বৈশিষ্ট্য 5: পূর্ণঘনের শেষ অঙ্ক
পূর্ণঘন সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0 থেকে 9-এর যেকোনোটি হতে পারে। তাই শুধু শেষ অঙ্ক দেখে কোনো সংখ্যা পূর্ণঘন কি না, তা নিশ্চিত করা যায় না। তবে ঘনমূলের এককের অঙ্ক নির্ণয়ে শেষ অঙ্কের নিয়ম কার্যকর।
4. ঘনমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি
পদ্ধতি 1: ঘনসংখ্যার তালিকা ব্যবহার
যদি সংখ্যাটি পরিচিত পূর্ণঘন হয়, তাহলে তালিকা থেকে সহজেই ঘনমূল বের করা যায়। যেমন, 1728 = 12³, তাই ∛1728 = 12।
পদ্ধতি 2: মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ
বড় পূর্ণঘন সংখ্যার ঘনমূল নির্ণয়ে এই পদ্ধতি খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে ভেঙে প্রতিটি একই গুণনীয়কের 3টি করে দল তৈরি করতে হয়। প্রতিটি দলের একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে গুণ করলে ঘনমূল পাওয়া যায়।
3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= 3³ × 5³
= (3 × 5)³
সুতরাং, ∛3375 = 3 × 5 = 15।
পদ্ধতি 3: শেষ অঙ্ক ও সংখ্যার পরিসর ব্যবহার
কিছু পূর্ণঘন সংখ্যার ঘনমূল দ্রুত অনুমান করা যায় এককের অঙ্ক এবং বাকি অঙ্কগুলির পরিসর দেখে। এটি মূলত বড় পূর্ণঘন সংখ্যার ক্ষেত্রে কাজে লাগে। তবে সংখ্যাটি পূর্ণঘন কি না, তা নিশ্চিত করতে প্রয়োজনে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ দিয়ে যাচাই করুন।
5. ঘনমূলের এককের অঙ্ক নির্ণয়ের শর্টকাট
পূর্ণঘন সংখ্যার এককের অঙ্ক দেখে তার ঘনমূলের এককের অঙ্ক অনুমান করা যায়। নিচের তালিকাটি মনে রাখুন।
| ঘনমূলের এককের অঙ্ক | ঘনের এককের অঙ্ক |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 7 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 3 |
| 8 | 2 |
| 9 | 9 |
উদাহরণ: 21952-এর ঘনমূলের এককের অঙ্ক কত?
21952-এর শেষ অঙ্ক 2। তালিকা অনুযায়ী, ঘনের এককের অঙ্ক 2 হলে ঘনমূলের এককের অঙ্ক 8। প্রকৃতপক্ষে, 28³ = 21952। তাই ∛21952 = 28।
6. পরীক্ষার জন্য গুরুত্বপূর্ণ সমাধানসহ উদাহরণ
উদাহরণ 1: 4096 কি পূর্ণঘন?
16³ = 16 × 16 × 16 = 4096।
উত্তর: হ্যাঁ, 4096 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা এবং এর ঘনমূল 16।
উদাহরণ 2: ∛216 নির্ণয় করুন।
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2³ × 3³।
তাই ∛216 = 2 × 3 = 6।
উত্তর: 6
উদাহরণ 3: 500 কি পূর্ণঘন?
500 = 2² × 5³। এখানে 2-এর ঘাত 2, যা 3-এর গুণিতক নয়। তাই 500 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
উত্তর: না।
উদাহরণ 4: ঘনাকার বাক্সের আয়তন 729 ঘন একক হলে বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ঘনকের আয়তন = বাহু³।
বাহু = ∛729 = 9, কারণ 9³ = 729।
উত্তর: 9 একক।
7. ঘন ও ঘনমূল: 10টি গুরুত্বপূর্ণ MCQ উত্তর ও ব্যাখ্যাসহ
প্রতিটি প্রশ্ন আগে নিজে সমাধান করুন, তারপর উত্তর ও ব্যাখ্যা মিলিয়ে নিন। এটি সাধারণ অনুশীলনী—এখানে কোনো অনলাইন টেস্ট বা স্কোরিং ব্যবস্থা নেই।
প্রশ্ন 1. 7³-এর মান কত?
(A) 243
(B) 343
(C) 324
(D) 729
ব্যাখ্যা: 7³ = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343।
প্রশ্ন 2. ∛512-এর মান কত?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
ব্যাখ্যা: 8³ = 8 × 8 × 8 = 512। তাই ∛512 = 8।
প্রশ্ন 3. নিচের কোনটি পূর্ণঘন সংখ্যা?
(A) 100
(B) 225
(C) 343
(D) 500
ব্যাখ্যা: 343 = 7³। অন্যদিকে 100, 225 এবং 500 কোনো পূর্ণসংখ্যার ঘন নয়।
প্রশ্ন 4. ∛3375-এর মান কত?
(A) 12
(B) 15
(C) 18
(D) 25
ব্যাখ্যা: 3375 = 3³ × 5³ = (3 × 5)³ = 15³। তাই ঘনমূল 15।
প্রশ্ন 5. 12³-এর মান কত?
(A) 144
(B) 728
(C) 1728
(D) 1296
ব্যাখ্যা: 12³ = 12 × 12 × 12 = 144 × 12 = 1728। মনে রাখুন, 12² = 144; এটি 12³ থেকে আলাদা।
প্রশ্ন 6. নিচের কোন সংখ্যাটি পূর্ণঘন নয়?
(A) 216
(B) 729
(C) 1000
(D) 500
ব্যাখ্যা: 216 = 6³, 729 = 9³ এবং 1000 = 10³। কিন্তু 500 কোনো পূর্ণসংখ্যার ঘন নয়।
প্রশ্ন 7. ∛(−125)-এর মান কত?
(A) −5
(B) 5
(C) −25
(D) 25
ব্যাখ্যা: (−5)³ = (−5) × (−5) × (−5) = −125। তাই ∛(−125) = −5।
প্রশ্ন 8. 21952-এর ঘনমূলের এককের অঙ্ক কত?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
ব্যাখ্যা: পূর্ণঘনের এককের অঙ্ক 2 হলে ঘনমূলের এককের অঙ্ক 8 হয়। এখানে ∛21952 = 28।
প্রশ্ন 9. 8-এর ঘন কত?
(A) 64
(B) 256
(C) 512
(D) 729
ব্যাখ্যা: 8³ = 8 × 8 × 8 = 64 × 8 = 512।
প্রশ্ন 10. কোনো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত 3-এর গুণিতক হলে, সংখ্যাটি কী হবে?
(A) অবশ্যই মৌলিক সংখ্যা
(B) পূর্ণবর্গ সংখ্যা মাত্র
(C) পূর্ণঘন সংখ্যা
(D) বিজোড় সংখ্যা মাত্র
ব্যাখ্যা: পূর্ণঘন সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত 3-এর গুণিতক হয়। যেমন, 216 = 2³ × 3³।
8. পরীক্ষার আগে দ্রুত রিভিশন
- ঘন: a³ = a × a × a।
- ঘনমূল: ∛a হলো সেই সংখ্যা, যার ঘন a।
- পূর্ণঘন সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত 3-এর গুণিতক হয়।
- ঘনমূলের এককের অঙ্ক নির্ণয়ে ঘনের শেষ অঙ্কের নিয়ম ব্যবহার করা যায়।
- 1 থেকে 20 পর্যন্ত ঘনসংখ্যার তালিকা নিয়মিত অনুশীলন করুন।
- পূর্ণঘন ও পূর্ণবর্গকে এক মনে করবেন না। যেমন, 64 একই সঙ্গে 8² এবং 4³; কিন্তু 16 পূর্ণবর্গ হলেও পূর্ণঘন নয়।
9. ঘন ও ঘনমূল সম্পর্কে সাধারণ প্রশ্ন (FAQ)
ঘন (Cube) কাকে বলে?
কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে 3 বার গুণ করলে যে ফল পাওয়া যায়, তাকে সংখ্যাটির ঘন বলে। যেমন, 4³ = 64।
ঘনমূল (Cube Root) কী?
যে সংখ্যাকে 3 বার গুণ করলে প্রদত্ত সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটি ওই সংখ্যার ঘনমূল। যেমন, ∛125 = 5।
পূর্ণঘন সংখ্যা চেনার সহজ নিয়ম কী?
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত 3-এর গুণিতক হলে সংখ্যাটি পূর্ণঘন। ছোট সংখ্যার ক্ষেত্রে পরিচিত ঘনসংখ্যার তালিকা দিয়েও যাচাই করা যায়।
ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনমূল কি সম্ভব?
হ্যাঁ। বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনমূল নির্ণয় করা যায়। যেমন, ∛(−27) = −3।
কোন সরকারি চাকরির পরীক্ষার জন্য এই অধ্যায়টি উপযোগী?
ঘন ও ঘনমূলের মতো মৌলিক Arithmetic বিষয় WBPSC Clerkship, WBPSC Miscellaneous, WB Police, Panchayat, ICDS এবং অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার গণিত অনুশীলনে কাজে লাগতে পারে। নির্দিষ্ট পরীক্ষার জন্য সংশ্লিষ্ট সরকারি বিজ্ঞপ্তির সিলেবাস দেখে নিন।
বিনামূল্যে রেজিস্ট্রেশন করুন
MyTestSeries.in-এর শিক্ষামূলক কনটেন্ট ও পরীক্ষার প্রস্তুতির রিসোর্স সম্পর্কে জানতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন ফর্ম ব্যবহার করুন।
লেখক ও শিক্ষার্থীদের জন্য নোট
এই পৃষ্ঠাটি Arithmetic-এর ঘন ও ঘনমূল অধ্যায়ের মৌলিক ধারণা, সূত্র ও উদাহরণভিত্তিক প্রস্তুতিমূলক শিক্ষামূলক নোট। পরীক্ষার নিয়ম, নম্বর বিভাজন বা সিলেবাসের জন্য সংশ্লিষ্ট পরীক্ষার সর্বশেষ সরকারি বিজ্ঞপ্তিই চূড়ান্ত বলে বিবেচনা করুন।
তথ্যসূত্র
এই নোটের গণিতের ধারণা ও উদাহরণ যাচাইয়ের জন্য NCERT-ভিত্তিক শিক্ষামূলক উপকরণ এবং SATHEE-এর ঘন ও ঘনমূল অধ্যায় ব্যবহার করা হয়েছে।
