বিষয়: Mathematics / Arithmetic | পরীক্ষা: WBCS, WBPSC, WB Police, SSC, Railway, Panchayat, ICDS ও অন্যান্য সরকারি চাকরির পরীক্ষা
অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion): সংজ্ঞা, সূত্র, নিয়ম, উদাহরণ ও MCQ
অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion) পাটিগণিতের একটি মৌলিক অধ্যায়। এই অধ্যায় ভালোভাবে বুঝতে পারলে শুধু সরাসরি অনুপাতের অঙ্ক নয়, শতকরা, লাভ-ক্ষতি, অংশীদারি, মিশ্রণ এবং ঐকিক নিয়মের অনেক সমস্যাও সহজে সমাধান করা যায়।
এই নোটে অনুপাতের সংজ্ঞা, সরলীকরণ, সমতুল অনুপাত, সমানুপাতের নিয়ম, চতুর্থ সমানুপাতী, ব্যস্ত অনুপাত, যৌগিক অনুপাত, সরাসরি ও ব্যস্ত সমানুপাত, বণ্টন এবং পরীক্ষায় আসা গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক ধাপে ধাপে আলোচনা করা হয়েছে।
1. অনুপাত (Ratio) কাকে বলে?
একই জাতীয় বা একই ধরনের দুটি রাশিকে ভাগের মাধ্যমে তুলনা করলে তাকে অনুপাত বলে। অনুপাত প্রকাশ করার জন্য কোলন (:) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
যেমন, একটি শ্রেণিতে 20 জন ছাত্র এবং 30 জন ছাত্রী থাকলে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত হবে:
অর্থাৎ প্রতি 2 জন ছাত্রের বিপরীতে 3 জন ছাত্রী রয়েছে।
অনুপাতের প্রথম ও দ্বিতীয় পদ
- পূর্বপদ (Antecedent): অনুপাতের প্রথম পদ। যেমন 3 : 5 অনুপাতে 3 হলো পূর্বপদ।
- উত্তরপদ (Consequent): অনুপাতের দ্বিতীয় পদ। যেমন 3 : 5 অনুপাতে 5 হলো উত্তরপদ।
অনুপাত নির্ণয়ের গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম
- তুলনা করার দুটি রাশির একক একই হতে হবে।
- দুটি রাশিকে একই এককে রূপান্তর করে অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।
- অনুপাতের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। A : B এবং B : A এক নয়।
- অনুপাতের উভয় পদকে একই শূন্য নয় এমন সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মান পরিবর্তিত হয় না।
উদাহরণ 1: অনুপাত নির্ণয়
40 এবং 60-এর অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
40 : 60
= (40 ÷ 20) : (60 ÷ 20)
উদাহরণ 2: একক পরিবর্তন করে অনুপাত
2 মিটার এবং 50 সেন্টিমিটারের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
2 মিটার = 200 সেন্টিমিটার
সুতরাং অনুপাত = 200 : 50
= 4 : 1
2. অনুপাতের সরলীকরণ (Simplification of Ratio)
কোনো অনুপাতের উভয় পদকে তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (HCF) দিয়ে ভাগ করে সবচেয়ে ছোট পূর্ণসংখ্যার আকারে প্রকাশ করাকে অনুপাতের সরলীকরণ বলে।
উদাহরণ 3
84 : 126 অনুপাতটি সরল করো।
84 ও 126-এর HCF = 42
84 ÷ 42 : 126 ÷ 42
সমতুল অনুপাত (Equivalent Ratio)
একটি অনুপাতের উভয় পদকে একই শূন্য নয় এমন সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে যে নতুন অনুপাত পাওয়া যায়, তাকে সমতুল অনুপাত বলে।
যেমন:
প্রতিটি অনুপাতের মান একই। তাই এগুলি সমতুল অনুপাত।
3. সমানুপাত (Proportion) কাকে বলে?
দুটি অনুপাতের মান সমান হলে তাদের সমানুপাত বলে। অর্থাৎ চারটি রাশি a, b, c এবং d সমানুপাতে থাকলে:
অথবা,
এখানে a এবং d হলো প্রান্তপদ (Extremes), আর b এবং c হলো মধ্যপদ (Means)।
সমানুপাতের প্রধান সূত্র
অর্থাৎ প্রান্তপদ দুটির গুণফল = মধ্যপদ দুটির গুণফল।
উদাহরণ 4: সমানুপাত যাচাই
4 : 6 এবং 10 : 15 সমানুপাতে আছে কি না যাচাই করো।
প্রথম অনুপাতের প্রান্তপদ = 4 ও 15
প্রান্তপদের গুণফল = 4 × 15 = 60
মধ্যপদের গুণফল = 6 × 10 = 60
4. সমানুপাতের বিভিন্ন পদ ও গুরুত্বপূর্ণ ধারণা
| পরিভাষা | অর্থ | উদাহরণ |
|---|---|---|
| Antecedent | অনুপাতের প্রথম পদ | 3 : 5-এ 3 |
| Consequent | অনুপাতের দ্বিতীয় পদ | 3 : 5-এ 5 |
| Means | সমানুপাতের মধ্যপদ | 3 : 5 :: 6 : 10-এ 5 ও 6 |
| Extremes | সমানুপাতের প্রান্তপদ | 3 : 5 :: 6 : 10-এ 3 ও 10 |
| Fourth Proportional | তিনটি রাশির চতুর্থ সমানুপাতী | a : b :: c : x |
| Third Proportional | দুটি রাশির তৃতীয় সমানুপাতী | a : b :: b : x |
5. চতুর্থ সমানুপাতী (Fourth Proportional)
তিনটি রাশি a, b এবং c-এর চতুর্থ সমানুপাতী x হলে:
উদাহরণ 5
4, 8 এবং 12-এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করো।
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী = x
4 : 8 :: 12 : x
4x = 8 × 12
x = 96 ÷ 4 = 24
6. তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional)
দুটি রাশি a ও b-এর তৃতীয় সমানুপাতী x হলে:
উদাহরণ 6
4 ও 8-এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করো।
4 : 8 :: 8 : x
4x = 8 × 8 = 64
x = 64 ÷ 4 = 16
7. মধ্য সমানুপাতী (Mean Proportional)
দুটি ধনাত্মক রাশি a এবং b-এর মধ্য সমানুপাতী x হলে:
উদাহরণ 7
4 ও 16-এর মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় করো।
x = √(4 × 16)
= √64
8. যৌগিক অনুপাত (Compound Ratio)
দুই বা ততোধিক অনুপাতের পূর্বপদগুলির গুণফল এবং উত্তরপদগুলির গুণফল দিয়ে যে নতুন অনুপাত তৈরি হয়, তাকে যৌগিক অনুপাত বলে।
উদাহরণ 8
2 : 3 এবং 4 : 5-এর যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করো।
= (2 × 4) : (3 × 5)
9. ব্যস্ত অনুপাত (Inverse Ratio)
কোনো অনুপাত a : b হলে তার ব্যস্ত অনুপাত হবে b : a। অর্থাৎ পূর্বপদ ও উত্তরপদের স্থান পরিবর্তন করা হয়।
যেমন, 3 : 5-এর ব্যস্ত অনুপাত 5 : 3।
10. সরাসরি সমানুপাত (Direct Proportion)
দুটি রাশির একটি বৃদ্ধি পেলে অন্যটিও একই অনুপাতে বৃদ্ধি পায় এবং একটি কমলে অন্যটিও একই অনুপাতে কমে, তখন তাদের সরাসরি সমানুপাত বলে।
যদি x ও y সরাসরি সমানুপাতিক হয়:
অথবা, x₁ / y₁ = x₂ / y₂ — নির্দিষ্ট অনুপাতে সংশ্লিষ্ট মানগুলির জন্য।
উদাহরণ 9
5টি কলমের দাম 40 টাকা হলে 8টি কলমের দাম কত?
5টি কলমের দাম = 40 টাকা
1টি কলমের দাম = 40 ÷ 5 = 8 টাকা
8টি কলমের দাম = 8 × 8
11. ব্যস্ত সমানুপাত (Inverse Proportion)
দুটি রাশির একটি বৃদ্ধি পেলে অন্যটি একই অনুপাতে কমে এবং একটি কমলে অন্যটি বাড়ে, তখন তাদের ব্যস্ত সমানুপাত বলে।
উদাহরণ 10
6 জন শ্রমিক একটি কাজ 12 দিনে সম্পন্ন করে। একই কাজ 8 জন শ্রমিক কত দিনে করবে? ধরে নেওয়া হলো প্রত্যেক শ্রমিকের কাজের ক্ষমতা সমান এবং কাজের সময় শ্রমিকেরা একইভাবে কাজ করবেন।
শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে কাজ শেষ করার দিন কমবে। তাই এটি ব্যস্ত সমানুপাত।
6 × 12 = 8 × x
x = 72 ÷ 8 = 9
12. অনুপাতের ভিত্তিতে কোনো রাশির বণ্টন
কোনো মোট পরিমাণকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করার অঙ্ক সরকারি চাকরির পরীক্ষায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
যদি মোট পরিমাণ T-কে a : b অনুপাতে ভাগ করা হয়, তাহলে:
একইভাবে a : b : c অনুপাতে ভাগ করলে:
উদাহরণ 11: টাকা ভাগ
720 টাকা A ও B-এর মধ্যে 5 : 7 অনুপাতে ভাগ করলে কে কত টাকা পাবে?
মোট অংশ = 5 + 7 = 12
A-এর অংশ = 720 × 5/12 = 300 টাকা
B-এর অংশ = 720 × 7/12 = 420 টাকা
উদাহরণ 12: তিনজনের মধ্যে বণ্টন
1,200 টাকা A, B ও C-এর মধ্যে 2 : 3 : 5 অনুপাতে ভাগ করা হলো। C কত টাকা পাবে?
মোট অংশ = 2 + 3 + 5 = 10
C-এর অংশ = 1,200 × 5/10
13. দুটি অনুপাত থেকে তিনটি রাশির অনুপাত নির্ণয়
যদি A : B এবং B : C দেওয়া থাকে, তাহলে B-এর পদ দুটি সমান করে A : B : C নির্ণয় করতে হয়। সাধারণত LCM ব্যবহার করলে অঙ্কটি দ্রুত করা যায়।
উদাহরণ 13
A : B = 2 : 3 এবং B : C = 4 : 5 হলে A : B : C নির্ণয় করো।
প্রথম অনুপাত: 2 : 3
দ্বিতীয় অনুপাত: 4 : 5
B-এর মান দুটি 3 ও 4। এদের LCM = 12
প্রথম অনুপাতকে 4 দিয়ে গুণ করলে: 8 : 12
দ্বিতীয় অনুপাতকে 3 দিয়ে গুণ করলে: 12 : 15
14. অনুপাত ও বয়স সংক্রান্ত অঙ্ক
বয়সের অঙ্কে বর্তমান বয়স, অতীতের বয়স অথবা ভবিষ্যতের বয়সের অনুপাত দেওয়া থাকতে পারে। এই ধরনের অঙ্কে প্রথমে বয়সকে অনুপাতের পদ অনুযায়ী x-এর সাহায্যে প্রকাশ করতে হয়।
উদাহরণ 14
রাম ও রহিমের বর্তমান বয়সের অনুপাত 3 : 5। তাদের বয়সের যোগফল 40 বছর হলে রহিমের বয়স কত?
ধরি, রাম ও রহিমের বয়স যথাক্রমে 3x ও 5x।
3x + 5x = 40
8x = 40
x = 5
রহিমের বয়স = 5 × 5 = 25 বছর।
15. অনুপাত ও অংশীদারি (Partnership)
ব্যবসায় দুই বা ততোধিক ব্যক্তি মূলধন বিনিয়োগ করলে লাভের বণ্টন সাধারণত মূলধন এবং বিনিয়োগের সময়ের অনুপাতের ওপর নির্ভর করে।
অর্থাৎ,
উদাহরণ 15
A 5,000 টাকা 12 মাসের জন্য এবং B 8,000 টাকা 6 মাসের জন্য বিনিয়োগ করল। মোট লাভ 3,000 টাকা হলে A কত লাভ পাবে?
A-এর বিনিয়োগের অনুপাত = 5,000 × 12 = 60,000
B-এর বিনিয়োগের অনুপাত = 8,000 × 6 = 48,000
অনুপাত = 60,000 : 48,000 = 5 : 4
মোট অংশ = 5 + 4 = 9
A-এর লাভ = 3,000 × 5/9
16. অনুপাত ও মিশ্রণ (Mixture)
দুধ-জল, বিভিন্ন দ্রবণ বা দুই ধরনের উপাদান মেশানোর অঙ্কে অনুপাতের ব্যবহার হয়। মিশ্রণের মোট পরিমাণ এবং প্রতিটি উপাদানের অংশ আলাদাভাবে নির্ণয় করতে হয়।
উদাহরণ 16
একটি মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 3 : 2। মিশ্রণের মোট পরিমাণ 25 লিটার হলে দুধ কত লিটার?
মোট অংশ = 3 + 2 = 5
দুধের পরিমাণ = 25 × 3/5
17. গুরুত্বপূর্ণ সূত্র এক নজরে
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| অনুপাত | a : b = a/b |
| সমতুল অনুপাত | a : b = ka : kb, যেখানে k ≠ 0 |
| সমানুপাত | a : b :: c : d |
| সমানুপাতের নিয়ম | ad = bc |
| চতুর্থ সমানুপাতী | d = bc/a |
| তৃতীয় সমানুপাতী | c = b²/a |
| মধ্য সমানুপাতী | √ab |
| যৌগিক অনুপাত | ac : bd |
| ব্যস্ত অনুপাত | b : a |
| a : b অনুপাতে প্রথম অংশ | মোট × a/(a+b) |
| a : b অনুপাতে দ্বিতীয় অংশ | মোট × b/(a+b) |
| সরাসরি সমানুপাত | x/y = ধ্রুবক |
| ব্যস্ত সমানুপাত | xy = ধ্রুবক |
| অংশীদারি | মূলধন × সময় |
18. পরীক্ষায় দ্রুত অঙ্ক করার কৌশল
- HCF ব্যবহার করুন: বড় অনুপাতকে দ্রুত সরল করতে উভয় পদকে HCF দিয়ে ভাগ করুন।
- LCM ব্যবহার করুন: A : B এবং B : C দেওয়া থাকলে B-এর পদ দুটি সমান করতে LCM নিন।
- মোট অংশ মনে রাখুন: অনুপাতে টাকা ভাগের অঙ্কে প্রথমে অনুপাতের পদগুলির যোগফল বের করুন।
- একক একই করুন: মিটার, সেন্টিমিটার, কিলোগ্রাম ও গ্রাম একসঙ্গে থাকলে অনুপাত নেওয়ার আগে একক পরিবর্তন করুন।
- সরাসরি না ব্যস্ত অনুপাত বুঝুন: শ্রমিক ও সময়, গতি ও সময়ের মতো অঙ্কে সম্পর্কটি আগে নির্ধারণ করুন।
- Cross Multiplication: সমানুপাতের অজানা পদ নির্ণয়ে প্রান্তপদ ও মধ্যপদের গুণফল সমান করুন।
সাধারণ ভুল যেগুলি এড়াতে হবে
- অনুপাতের ক্রম উল্টে ফেলা।
- একক পরিবর্তন না করে দুটি ভিন্ন এককের তুলনা করা।
- মোট অংশের পরিবর্তে অনুপাতের একটি পদকে মোট পরিমাণ ধরে নেওয়া।
- সরাসরি ও ব্যস্ত সমানুপাত গুলিয়ে ফেলা।
- সমানুপাতের প্রান্তপদ ও মধ্যপদের গুণফল ভুল করা।
সরকারি চাকরির প্রস্তুতি শুরু করুন
গণিত, বাংলা, ইংরেজি ও সাধারণ জ্ঞানের প্রস্তুতির জন্য My Test Series-এ বিনামূল্যে রেজিস্ট্রেশন করুন।
19. অনুপাত ও সমানুপাতের 10টি গুরুত্বপূর্ণ MCQ উত্তর ও ব্যাখ্যাসহ
নিচের প্রশ্নগুলি WBCS, WBPSC, WB Police, SSC, Railway, Panchayat ও অন্যান্য সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রস্তুতির উপযোগী। প্রতিটি প্রশ্নের সঠিক উত্তর এবং সমাধান দেওয়া হয়েছে। এটি একটি সাধারণ নোট, কোনো অনলাইন পরীক্ষা নয়।
প্রশ্ন 1. 36 : 48-এর সরলতম অনুপাত কত?
A) 2 : 3
B) 3 : 4
C) 4 : 5
D) 5 : 6
ব্যাখ্যা: 36 ও 48-এর HCF = 12। উভয় পদকে 12 দিয়ে ভাগ করলে 36 : 48 = 3 : 4 হয়।
প্রশ্ন 2. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 5 এবং তাদের যোগফল 64। বড় সংখ্যাটি কত?
A) 24
B) 32
C) 40
D) 48
ব্যাখ্যা: মোট অংশ = 3 + 5 = 8। প্রতি অংশ = 64 ÷ 8 = 8। বড় সংখ্যা = 5 × 8 = 40।
প্রশ্ন 3. 4 : 7 :: 12 : x হলে x-এর মান কত?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 28
ব্যাখ্যা: 4 : 7 :: 12 : x। সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী 4x = 7 × 12 = 84। অতএব x = 84 ÷ 4 = 21।
প্রশ্ন 4. 2 : 3 এবং 4 : 5-এর যৌগিক অনুপাত কত?
A) 6 : 15
B) 8 : 15
C) 10 : 12
D) 4 : 8
ব্যাখ্যা: যৌগিক অনুপাত = (2 × 4) : (3 × 5) = 8 : 15।
প্রশ্ন 5. 5 : 8 অনুপাতে 520 টাকা ভাগ করলে ছোট অংশটি কত?
A) 160 টাকা
B) 180 টাকা
C) 200 টাকা
D) 320 টাকা
ব্যাখ্যা: মোট অংশ = 5 + 8 = 13। প্রতি অংশ = 520 ÷ 13 = 40 টাকা। ছোট অংশ = 5 × 40 = 200 টাকা।
প্রশ্ন 6. 6 জন শ্রমিক একটি কাজ 15 দিনে করে। 10 জন শ্রমিক একই কাজ কত দিনে করবে?
A) 6 দিন
B) 8 দিন
C) 9 দিন
D) 12 দিন
ব্যাখ্যা: শ্রমিকের সংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতিক। 6 × 15 = 10 × x। সুতরাং x = 90 ÷ 10 = 9 দিন।
প্রশ্ন 7. 4 ও 25-এর মধ্য সমানুপাতী কত?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
ব্যাখ্যা: মধ্য সমানুপাতী = √(4 × 25) = √100 = 10।
প্রশ্ন 8. A : B = 2 : 3 এবং B : C = 4 : 5 হলে A : B : C কত?
A) 8 : 12 : 15
B) 2 : 4 : 5
C) 6 : 12 : 15
D) 8 : 10 : 15
ব্যাখ্যা: B-এর পদ দুটি 3 ও 4। এদের LCM = 12। প্রথম অনুপাতকে 4 দিয়ে গুণ করলে 8 : 12 এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে 3 দিয়ে গুণ করলে 12 : 15। তাই সম্মিলিত অনুপাত 8 : 12 : 15।
প্রশ্ন 9. 3 : 5 অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত কত?
A) 3 : 5
B) 5 : 3
C) 8 : 3
D) 5 : 8
ব্যাখ্যা: কোনো অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত নির্ণয় করতে পূর্বপদ ও উত্তরপদের স্থান পরিবর্তন করতে হয়। তাই 3 : 5-এর ব্যস্ত অনুপাত 5 : 3।
প্রশ্ন 10. A ও B-এর বয়সের অনুপাত 4 : 7। তাদের বয়সের যোগফল 44 বছর হলে B-এর বয়স কত?
A) 16 বছর
B) 20 বছর
C) 24 বছর
D) 28 বছর
ব্যাখ্যা: মোট অংশ = 4 + 7 = 11। প্রতি অংশ = 44 ÷ 11 = 4। B-এর বয়স = 7 × 4 = 28 বছর।
20. প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন (FAQ)
অনুপাত (Ratio) কাকে বলে?
একই ধরনের দুটি রাশির ভাগের মাধ্যমে তুলনাকে অনুপাত বলে। যেমন 2 : 3 একটি অনুপাত।
সমানুপাত (Proportion) কাকে বলে?
দুটি অনুপাতের মান সমান হলে তাকে সমানুপাত বলে। যেমন 2 : 3 :: 4 : 6।
অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ কী?
অনুপাতের প্রথম পদকে পূর্বপদ এবং দ্বিতীয় পদকে উত্তরপদ বলে। 4 : 7 অনুপাতে 4 পূর্বপদ এবং 7 উত্তরপদ।
সমানুপাতের প্রান্তপদ ও মধ্যপদ কী?
a : b :: c : d হলে a ও d হলো প্রান্তপদ এবং b ও c হলো মধ্যপদ। প্রান্তপদগুলির গুণফল মধ্যপদগুলির গুণফলের সমান।
চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয়ের সূত্র কী?
a : b :: c : x হলে চতুর্থ সমানুপাতী x = (b × c) ÷ a।
মধ্য সমানুপাতী নির্ণয়ের সূত্র কী?
a ও b-এর মধ্য সমানুপাতী হলো √(a × b), যেখানে ধনাত্মক রাশির ক্ষেত্রে ধনাত্মক বর্গমূল নেওয়া হয়।
সরাসরি ও ব্যস্ত সমানুপাতের পার্থক্য কী?
সরাসরি সমানুপাতে একটি রাশি বাড়লে অন্যটিও একই অনুপাতে বাড়ে। ব্যস্ত সমানুপাতে একটি রাশি বাড়লে অন্যটি কমে, যদি গুণফল ধ্রুব থাকে।
অনুপাত নির্ণয়ের আগে একক একই করা কেন জরুরি?
অনুপাত অর্থপূর্ণভাবে নির্ণয় করতে তুলনীয় রাশিগুলিকে একই এককে প্রকাশ করতে হয়। যেমন 2 মিটার ও 50 সেন্টিমিটারের অনুপাত নির্ণয়ের আগে 2 মিটারকে 200 সেন্টিমিটারে রূপান্তর করতে হবে।
21. আরও পড়ুন: গণিত ও Arithmetic প্রস্তুতি
অনুপাত ও সমানুপাতের পাশাপাশি নিচের গণিতের অধ্যায়গুলি অনুশীলন করলে সরকারি চাকরির পরীক্ষার Arithmetic অংশের প্রস্তুতি আরও ভালো হবে।
- বর্গ ও বর্গমূল (Square and Square Root)
- ঘন ও ঘনমূল (Cube and Cube Root)
- পঞ্চায়েত পরীক্ষা গণিত MCQ প্র্যাকটিস সেট 1
- পঞ্চায়েত গণিত MCQ প্র্যাকটিস সেট 2
- Daily Mathematics Practice
- WB Upper Primary TET গণিত প্র্যাকটিস
- WBPSC ICDS Prelims-এর বিষয়ভিত্তিক সিলেবাস
- WB Gram Panchayat পরীক্ষার সম্পূর্ণ সিলেবাস
- WB Panchayat পরীক্ষার প্রস্তুতির সেরা বই
- WBPSC Miscellaneous Mains Syllabus
22. নির্ভরযোগ্য বাহ্যিক পাঠ্যসূত্র
অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা, সূত্র এবং গাণিতিক যুক্তি আরও ভালোভাবে বোঝার জন্য নিচের শিক্ষামূলক সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারেন।
- NCERT Mathematics Exemplar: Ratio and Proportion
- YCMOU: Mathematics for Competitive Exam
- National Council of Teachers of Mathematics: Ratio and Proportion
বিনামূল্যে রেজিস্ট্রেশন করে প্রস্তুতি শুরু করুন
গণিত ও অন্যান্য বিষয়ের নোট, MCQ এবং সরকারি পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য My Test Series-এ যোগ দিন।
Daily Exam Updates পেতে WhatsApp Channel-এ যুক্ত হন
সরকারি চাকরির খবর, পরীক্ষার আপডেট, নতুন নোট ও গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন পেতে আমাদের চ্যানেল অনুসরণ করুন।
About Ranjan Malakar
Ranjan Malakar is an experienced educational content writer and exam preparation mentor with more than 15 years of expertise in creating high-quality study materials, mock tests, MCQs, and competitive exam resources in Bengali, Assamese, and English languages.
He specializes in educational content related to WB Police, Panchayat, TET, Assam Exams, and various state-level competitive examinations. Through My Test Series, he continuously works to make exam preparation more accessible, affordable, and effective for students across India.
